Problem OMJ 22.1.7

% Algebra, Inequalities, AmHm

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{float}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{graphicx}

\usepackage{polyglossia}
\setmainlanguage{polish}

\usepackage{amsmath, amsthm}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{unicode-math}

\setmainfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XXII OMJ, etap 1, zadanie 7}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}

\section*{Problem Statement}

Dodatnie liczby rzeczywiste $a$, $b$ spełniają warunek
$$a + \frac{1}{a} = b - \frac{1}{b}.$$
Wykaż, że $b^2 - a^2 > 4$.

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Zastanówmy się najpierw czy może być $a = b$? Podstawmy:
\begin{align*}
    a + \frac{1}{a} &= b - \frac{1}{b} \\
    a + \frac{1}{a} &= a - \frac{1}{a} \\
    \frac{1}{a} &= -\frac{1}{a} \\
    \frac{2}{a} &= 0
\end{align*}

Równanie powyższe nie ma rozwiązań! Bo żeby ułamek był równy $0$ to licznik musi być równy $0$.

A zatem wiemy, że $a \neq b$.

Przekształćmy nasze równanie do takiej postaci:
\begin{equation}
    \label{e1}
    \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = b - a
\end{equation}

Znany jest fakt, że średnia harmoniczna jest mniejsza lub równa średniej arytmetycznej (zachodzi to dla liczb dodatnich; w naszym zadaniu mamy dodatnie liczby, więc możemy tego użyć). Znany jest też fakt, że równość zachodzi tylko wtedy gdy wszystkie elementy są równe. U nas $a \neq b$ więc średnia harmoniczna jest ściśle mniejsza od średniej arytmetycznej. Zapiszmy to:
\begin{equation}
    \label{e2}
    \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} < \frac{a + b}{2}
\end{equation}

Wstawmy wyrażenie \eqref{e1} do lewej strony nierówności \eqref{e2}:
\[
    \frac{2}{b - a} < \frac{a + b}{2}
\]

Skoro $a,b > 0$ to wyrażenie $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ też jest dodatnie. A zatem z równości \eqref{e1} wynika, że $b-a$ też jest dodatnie. Więc możemy pomnożyć "na krzyż":
\[
    (a+b)(b-a) > 4
\]

Użyjmy wzoru skróconego mnożenia:
\[
    b^2 - a^2 > 4
\]

Otrzymaliśmy tezę. \qed

\vspace{2em}

\textbf{Sposób drugi:}

Przepiszmy wyjściowe równanie w postaci:
\begin{equation}\label{eq:roznica}
    b - a = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}.
\end{equation}
Z założenia liczby $a$ i $b$ są dodatnie, więc prawa strona równości \eqref{eq:roznica} jest ściśle dodatnia:
\[
    b - a > 0 \implies b > a > 0.
\]
Ponieważ obie liczby są dodatnie oraz $b > a$, zachodzi również $b^2 > a^2$, czyli:
\begin{equation}\label{eq:dodatnie}
    b^2 - a^2 > 0.
\end{equation}

Podnieśmy teraz wyjściowe równanie obustronnie do kwadratu:
\[
    \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = \left(b - \frac{1}{b}\right)^2.
\]
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, otrzymujemy:
\[
    a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = b^2 - 2 \cdot b \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{b^2},
\]
czyli:
\[
    a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = b^2 - 2 + \frac{1}{b^2}.
\]
Przenosząc wyrazy na odpowiednie strony, grupujemy wyrażenie $b^2 - a^2$:
\begin{align*}
    b^2 - a^2 &= 4 + \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} \\
    b^2 - a^2 &= 4 + \frac{b^2 - a^2}{a^2 b^2}.
\end{align*}

Z nierówności \eqref{eq:dodatnie} wiemy, że $b^2 - a^2 > 0$. Ponadto mianownik $a^2 b^2 > 0$, skąd wynika, że ułamek:
\[
    \frac{b^2 - a^2}{a^2 b^2} > 0.
\]
Wobec tego:
\[
    b^2 - a^2 = 4 + \underbrace{\frac{b^2 - a^2}{a^2 b^2}}_{> 0} > 4,
\]
co należało wykazać.\qed

\end{document}