Problem OMJ 22.1.3

% Algebra

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{float}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{graphicx}

\usepackage{polyglossia}
\setmainlanguage{polish}

\usepackage{amsmath, amsthm}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{unicode-math}

\setmainfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XXII OMJ, etap 1, zadanie 3}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}

\section*{Problem Statement}

Czy istnieją takie dodatnie liczby rzeczywiste $x, y$, że
$$x + y = xy \quad \text{oraz} \quad x - y = \frac{x}{y}?$$
Odpowiedź uzasadnij.

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Oznaczmy nasze równości (z treści zadania) by się do nich łatwo odwoływać:
\begin{align}
x + y &= xy \label{e1} \\
x - y &= \frac{x}{y} \label{e2}
\end{align}

Zauważmy, że z \eqref{e2} wynika, że $y \neq 0$. Pomnóżmy zatem równość w \eqref{e2} obustronnie przez $y$:
\begin{equation}
    \label{e3}
    xy - y^2 = x
\end{equation}

W równaniu \eqref{e3} dostaliśmy, że $x$ jest równy jakiemuś wyrażeniu. Wstawmy zatem tę wartość $x$ do \eqref{e1}.
\begin{align*}
    xy - y^2 + y &= xy \\
    -y^2 + y &= 0 \\
    y &= y^2
\end{align*}

Otrzymaliśmy, że $y = y^2$. To jest możliwe tylko dla $y = 0$ lub $y = 1$. Wcześniej pokazaliśmy, że $y \neq 0$, więc musi być, że $y = 1$.

Wstawmy $y = 1$ do \eqref{e2}:
\begin{align*}
x - 1 &= \frac{x}{1} \\
x - 1 &= x \\
-1 &= 0
\end{align*}

Otrzymaliśmy sprzeczność! Oznacza to, że nie istnieją liczby $x$ i $y$ spełniające założenia podane w zadaniu.

Na koniec warto dodać że gdyby zamiast założenia \eqref{e2} w zadaniu dali nam bezpośrednio założenie \eqref{e3} to para $(x,y) = (0,0)$ spełniałaby założenia.

\textbf{Drugi sposób:}

Przypomnijmy wyjściowy układ równań:
\begin{align}
    x + y &= xy \label{m2_e1} \\
    x - y &= \frac{x}{y} \label{m2_e2}
\end{align}

Załóżmy nie wprost, że istnieją dodatnie liczby rzeczywiste $x, y > 0$ spełniające powyższe równości. Pomnóżmy równania \eqref{m2_e1} oraz \eqref{m2_e2} stronami:
\begin{align*}
    (x + y)(x - y) &= xy \cdot \frac{x}{y} \\
    x^2 - y^2 &= x^2
\end{align*}

Odejmując $x^2$ od obu stron równości, otrzymujemy:
\begin{align*}
    -y^2 &= 0 \\
    y &= 0
\end{align*}

Otrzymany wynik stoi w sprzeczności z założeniem, że $y$ jest liczbą dodatnią ($y > 0$). Zatem takie liczby $x$ i $y$ nie istnieją.

\end{document}