Problem OMJ 21.3.4

Problem Statement

Dany jest trójkąt $ABC$. Punkt $D$ leży na boku $BC$, a punkt $E$ leży wewnątrz trójkąta $ABD$, przy czym \[ \angle ABE = \angle CBE \quad \text{oraz} \quad \angle BAE = \angle EAD = \angle DAC. \] Wykaż, że jeżeli punkty $A, C, D, E$ leżą na jednym okręgu, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

Solution:

Przyjmijmy takie oznaczenia kątów jak na rysunku: \[ \angle ABE = \angle CBE = \alpha \] \[ \angle BAE = \angle EAD = \angle DAC = \beta \]

Zauważmy, że skoro punkty $A, C, D, E$ leżą na jednym okręgu, to zachodzi taka równość: \begin{equation} \angle EAD = \angle ECD = \beta \end{equation}

Równość ta zachodzi ponieważ oba kąty "patrzą" na łuk $DE$ w okręgu po tej samej stronie. Czyli mówiąc formalnie, oba kąty są oparte na tym samym łuku $DE$ w tym okręgu.

Możemy teraz zauważyć przystawanie trójkątów: trójkąty $CEB$ i $AEB$ są przystające na podstawie cechy bok-kąt-kąt\footnote{Cecha przystawania bok-kąt-kąt zazwyczaj nie jest podawana w podręcznikach, ale można ją łatwo wyprowadzić z cechy przystawania kąt-bok-kąt po prostu wyznaczając trzeci kąt w trójkącie.}!

Jest tak ponieważ:

$\angle ABE = \angle CBE = \alpha$.
$\angle BAE = \angle BCE = \beta$.
bok na przeciwko kąta $\beta$ to w obu trójkątach $BE$.

A skoro są przystające to mamy: \begin{equation} CB = AB \end{equation}

Czyli trójkąt $ABC$ jest równoramienny. Co należało dowieść.■

**Figure 2:** Narysowany okrąg i oznaczony kąt $ECD$

% Geometry

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{float}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{graphicx}

\usepackage{polyglossia}
\setmainlanguage{polish}

\usepackage{amsmath, amsthm}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{unicode-math}

\setmainfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XXI OMJ, etap 3, zadanie 4}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}

\section*{Problem Statement}

Dany jest trójkąt $ABC$. Punkt $D$ leży na boku $BC$, a punkt $E$ leży wewnątrz trójkąta $ABD$, przy czym
\[
\angle ABE = \angle CBE \quad \text{oraz} \quad \angle BAE = \angle EAD = \angle DAC.
\]
Wykaż, że jeżeli punkty $A, C, D, E$ leżą na jednym okręgu, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Przyjmijmy takie oznaczenia kątów jak na rysunku:
\[
\angle ABE = \angle CBE = \alpha
\]
\[
\angle BAE = \angle EAD = \angle DAC = \beta
\]

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1\textwidth]{img/21.3.4_1.jpg}
    \caption{Konfiguracja początkowa}
    \label{r1}
\end{figure}

Zauważmy, że skoro punkty $A, C, D, E$ leżą na jednym okręgu, to zachodzi taka równość:
\begin{equation}
    \angle EAD = \angle ECD = \beta
\end{equation}

Równość ta zachodzi ponieważ oba kąty "patrzą" na łuk $DE$ w okręgu po tej samej stronie.
Czyli mówiąc formalnie, oba kąty są oparte na tym samym łuku $DE$ w tym okręgu.

Możemy teraz zauważyć przystawanie trójkątów: trójkąty $CEB$ i $AEB$ są przystające na podstawie cechy bok-kąt-kąt\footnote{Cecha przystawania \emph{bok-kąt-kąt} zazwyczaj nie jest podawana w podręcznikach, ale można ją łatwo wyprowadzić z cechy przystawania \emph{kąt-bok-kąt} po prostu wyznaczając trzeci kąt w trójkącie.}!

Jest tak ponieważ:
\begin{itemize}
    \item $\angle ABE = \angle CBE = \alpha$.
    \item $\angle BAE = \angle BCE = \beta$.
    \item bok na przeciwko kąta $\beta$ to w obu trójkątach $BE$. 
\end{itemize}

A skoro są przystające to mamy:
\begin{equation}
    CB = AB
\end{equation}

Czyli trójkąt $ABC$ jest równoramienny. Co należało dowieść.\qed

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1\textwidth]{img/21.3.4_2.jpg}
    \caption{Narysowany okrąg i oznaczony kąt $ECD$}
    \label{r1}
\end{figure}

\end{document}