Problem OMJ 21.3.2

% Algebra, Geometry

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{float}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{graphicx}

\usepackage{polyglossia}
\setmainlanguage{polish}

\usepackage{amsmath, amsthm}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{unicode-math}

\setmainfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XXI OMJ, etap 3, zadanie 2}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}

\section*{Problem Statement}

W pewnym trójkącie miary kątów wewnętrznych są równe $a^\circ$, $b^\circ$, $c^\circ$, przy czym $a^2+b^2=c^2$. Wykaż, że trójkąt ten jest ostrokątny.

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Napiszmy najpierw warunki domyślne:

Z treści zadania wiemy, że:
\begin{equation}
    \label{e4}
    a^2 + b^2 = c^2
\end{equation}

Suma kątów w trójkącie jest równa 180 stopni:
\begin{equation}
    \label{e1}
    a + b + c = 180
\end{equation}

Ponadto kąty nie mogą być ujemne więc:
\begin{equation}
    \label{e2}
    a, b, c>0
\end{equation}

Warunek, że trójkąt ma być ostrokątny jest równoważny warunkowi, że:
\begin{equation}
    a, b, c < 90
\end{equation}

Wyznaczmy $c$ z \eqref{e1}:
\begin{equation}
    \label{e3}
    c = 180-a-b = 180-(a+b)
\end{equation}

Podstawmy \eqref{e3} do \eqref{e4}:
\begin{align*}
    a^2 + b^2 &= (180-(a+b))^2 \\
    a^2 + b^2 &= 180\cdot180 - 2\cdot180\cdot(a+b)+(a+b)^2 \\
    a^2 + b^2 &= 180\cdot180 - 360a-360b+a^2+2ab+b^2 \\
    0 &= 180\cdot180 - 360a-360b+2ab \\
    0 &= 180\cdot90 - 180a-180b+ab \\
    ab &= 180a + 180b - 180\cdot90 \\
    ab &= 180(a + b - 90)
\end{align*}

Otrzymujemy
\begin{equation}
    \label{e6}
    ab = 180(a + b - 90)
\end{equation}

Otóż, z \eqref{e2} wiemy, że:
\[
ab > 0
\]

A zatem żeby była równość to prawa strona równania \eqref{e6} też musi być dodatnia!

Przy czym zauważmy, że z \eqref{e1} możemy wyprowadzić wzór na $a+b$:
\begin{equation}
    \label{e7}
    a + b = 180 - c
\end{equation}

A więc możemy przekształcić równanie \eqref{e6} do postaci:
\begin{equation}
    ab = 180(90 - c)
\end{equation}

Skoro prawa strona ma być dodatnia to otrzymujemy:
\begin{equation}
    90 - c > 0 \Longrightarrow c < 90
\end{equation}

Więc już wyznaczyliśmy, że $c < 90$. Teraz pozostaje zrobić to samo z $a$ i $b$.

Wyznaczmy $b$ z \eqref{e1}:
\begin{equation}
    \label{e8}
    b = 180-a-c = 180-(a+c)
\end{equation}

Podstawmy \eqref{e8} do \eqref{e4}:
\begin{align*}
    a^2 + (180-(a+c))^2 &= c^2 \\
    a^2 + 180\cdot180 - 2\cdot180\cdot(a+c)+(a+c)^2 &= c^2 \\
    a^2 + 180\cdot180 - 360a-360c+a^2+2ac+c^2 &= c^2 \\
    2a^2 + 180\cdot180 - 360a-360c+2ac &= 0 \\
    360a+360c-180\cdot180 &= 2ac + 2a^2 \\
    180a+180c-180\cdot90 &= ac + a^2 \\
    180(a+c-90) &= ac + a^2 \\
    180(90-b) &= ac + a^2
\end{align*}

Zauważmy, że prawa strona jest większa od 0, bo $ac>0$ z \eqref{e2} a $a^2 \geq 0$, więc suma $ac + a^2>0$.

Więc, skoro prawa strona jest dodatnia to żeby była równość to lewa też musi być dodatnia, zatem:
\[
180(90-b)>0 \Longrightarrow b < 90
\]

Analogicznie możemy udowodnić, że $a < 90$.

Otóż jak widać udało nam się udowodnić, że:
\[
0 < a,b,c < 90
\]
czyli nasz trójkąt jest ostrokątny. $\qed$

\textbf{Sposób 2:}

Ponieważ $a^\circ$, $b^\circ$, $c^\circ$ są miarami kątów wewnętrznych trójkąta, to zachodzą warunki:
\begin{equation}
    a > 0, \quad b > 0, \quad c > 0
\end{equation}
oraz suma miar kątów wynosi $180^\circ$:
\begin{equation}
    a + b + c = 180 \implies a + b = 180 - c
\end{equation}

Z treści zadania mamy zależność:
\begin{equation}
    a^2 + b^2 = c^2
\end{equation}
Ponieważ $a > 0$ oraz $b > 0$, to:
\begin{itemize}
    \item $c^2 = a^2 + b^2 > a^2 \implies c > a$,
    \item $c^2 = a^2 + b^2 > b^2 \implies c > b$.
\end{itemize}
Wynika stąd, że kąt o mierze $c^\circ$ jest największym kątem w tym trójkącie. Aby wykazać, że trójkąt jest ostrokątny, wystarczy dowieść, że $c < 90$.

Rozważmy kwadrat sumy $(a + b)$:
\begin{equation}
    (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab = c^2 + 2ab
\end{equation}
Ponieważ $a > 0$ i $b > 0$, iloczyn $2ab$ jest ściśle dodatni ($2ab > 0$), zatem:
\begin{equation}
    (a + b)^2 > c^2
\end{equation}
Jako że obie strony są dodatnie, możemy spierwiastkować nierówność:
\begin{equation}
    a + b > c
\end{equation}
Podstawiając do powyższej nierówności zależność $a + b = 180 - c$, otrzymujemy:
\begin{align*}
    180 - c &> c \\
    180 &> 2c \\
    c &< 90
\end{align*}

Skoro największy kąt trójkąta ma miarę mniejszą niż $90^\circ$ ($c < 90$), a pozostałe kąty są od niego mniejsze ($a < c < 90$ oraz $b < c < 90$), to wszystkie kąty w trójkącie są ostre.

Trójkąt ten jest zatem ostrokątny, co kończy dowód. \qed

\end{document}